Головна » Наука та освіта » Екстремуми функції - простою мовою про складне

Екстремуми функції - простою мовою про складне



Щоб зрозуміти, що таке точки екстремуму функції, зовсім необов'язково знати про наявність першої та другої похідної і розуміти їх фізичний зміст. Для початку потрібно усвідомити таке:
  • екстремуми функції максимізують або, навпаки, мінімізують значення функції в як завгодно малої околиці;
  • в точці екстремуму не повинно бути розриву функції.


А тепер те ж саме, тільки простою мовою. Подивіться на кінчик стержня кулькової ручки. Якщо ручку розташувати вертикально, пишучим кінцем вгору, то сама середина кульки буде екстремумом - найвищою точкою. У цьому випадку говорять про максимум. Тепер, якщо повернути ручку пишучим кінцем вниз, то на серединці кульки вже буде мінімум функції. За допомогою малюнка, приведеного тут же, можна уявити перераховані маніпуляції для канцелярського олівця. Отже, екстремуми функції - це завжди критичні точки: її максимуми або мінімуми. Прилеглу ділянку графіка може бути як завгодно гострим або плавним, але він повинен існувати з обох сторін, тільки в цьому випадку точка є екстремумів. Якщо графік присутній лише з одного боку, точка ця екстремумом бути не буде навіть у тому випадку, якщо з одного її боку умови екстремуму виконуються. Тепер вивчимо екстремуми функції з наукової точки зору. Щоб точка могла вважатися екстремумом, необхідно і достатньо, щоб:

  • перша похідна дорівнювала нулю або не існувала в точці;
  • перша похідна змінювала свій знак в цій точці.


Умова трактується дещо інакше з точки зору похідних вищого порядку: для функції, що диференціюється в точці, достатньо, щоб існувала похідна непарного порядку, нерівна нулю, при тому, що всі похідні більш нижчого порядку повинні існувати і бути рівними нулю. Це максимально просте тлумачення теорем з підручників вищої математики. Але для самих звичайних людей варто пояснити цей момент прикладом. За основу береться звичайна парабола. Відразу обмовимося, в нульовій точці у неї є мінімум. Зовсім трохи математики:

  • перша похідна (X 2) | = 2X, для нульової точки 2Х = 0;
  • друга похідна (2Х) | = 2 для нульової точки 2 = 2.


Таким нехитрим чином проілюстровані умови, що визначають екстремуми функції і для похідних першого порядку, і для похідних вищого порядку. Можна до цього додати, що друга похідна якраз є тією самою похідною непарного порядку, нерівній нулю, про яку йшлося трохи вище. Коли мова заходить про екстремуми функції двох змінних, то умови повинні виконуватися для обох аргументів. Коли відбувається узагальнення, то в хід йдуть приватні похідні. Тобто необхідно для наявності екстремуму в точці, щоб обидві похідні першого порядку дорівнювали нулю, або хоча б одна з них не існувала. Для достатності наявності екстремуму досліджується вираз, що представляє собою різницю твори похідних другого порядку і квадрата змішаної похідної другого порядку функції. Якщо цей вислів більше нуля, значить, екстремум має місце бути, а якщо присутній рівність нулю, то питання залишається відкритим, і потрібно проводити додаткові дослідження.