Головна » Наука та освіта » Евклід простір: поняття, властивості, ознаки

Евклід простір: поняття, властивості, ознаки



Ще в школі всі учні знайомляться з поняттям «евклідова геометрія», основні положення якої сфокусовані навколо декількох аксіом, що спираються на такі геометричні елементи, як точка, площина, пряма, руху. Всі вони в сукупності формують те, що вже давно відомо під терміном «евклидово простір».

Евклід простір, визначення якого базується на положенні про скалярному множенні векторів, є окремим випадком лінійного (аффинного) простору, який задовольняє цілому ряду вимог. По-перше, скалярний добуток векторів абсолютно симетрично, тобто вектор з координатами (x; y) в кількісному плані тотожний вектору з координатами (y; x), однак протилежний за напрямком.

По-друге, в тому випадку, якщо проводиться скалярний твір вектора з самим собою, то результат цієї дії буде носити позитивний характер. Єдиним винятком стане випадок, коли початкова та кінцева координата цього вектора дорівнює нулю: в цьому випадку і твір його з самим собою те ж дорівнюватиме нулю.

По-третє, має місце дистрибутивність скалярного твори, то є можливість розкладання однієї з його координат на суму двох значень, що не спричинить жодних змін в підсумковому результаті скалярного множення векторів. Нарешті, по-четверте, при множенні векторів на одне і те ж дійсне число їх скалярний твір також збільшиться в стільки ж разів.

У тому випадку, якщо виконуються всі ці чотири умови, ми можемо з упевненістю сказати, що перед нами евклидово простір.

Евклід простір з практичної точки зору можна охарактеризувати наступними конкретними прикладами:
  • Найпростіший випадок - це наявність безлічі векторів з певним за основними законами геометрії скалярним твором.
  • Евклід простір вийде і в тому випадку, якщо під векторами ми будемо розуміти якесь кінцеве безліч дійсних чисел із заданою формулою, яка описує їх скалярную суму або твір.
  • Окремим випадком евклидова простору слід визнати так зване нульове простір, який виходить в тому випадку, якщо скалярна довжина обох векторів дорівнює нулю.

  • Евклід простір має цілу низку специфічних властивостей. По-перше, скалярний множник можна виносити за дужки як від першого, так і від другого співмножника скалярного твори, результат від цього не зазнає ніяких змін. По-друге, поряд з дистрибутивного першого елемента скалярного твори, діє і дистрибутивність другого елементу. Крім того, крім скалярною суми векторів, дистрибутивність має місце і у випадку віднімання векторів. Нарешті, по-третє, при скалярному множенні вектора на нуль, результат також буде дорівнює нулю.

    Таким чином, евклидово простір - це найважливіше геометричне поняття, що використовується при вирішенні завдань з взаємним розташуванням векторів один щодо одного, для характеристики якого використовується таке поняття, як скалярний твір.